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  • Théorème des accroissements finis

    Formulaire de report

    Théorème

    Une variable

    Théorème des accroissements finis :
    Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\)
    Alors $$\exists c\in]a,b[\text{ tq } {{f(b)-f(a)}}={{f'(c)(b-a)}}$$

    (Continuité, Dérivabilité)

    Démonstration :$$\begin{align}&\text{on introduit :}\\ &h:[a,b]\longrightarrow\Bbb R\\ &x\longmapsto (f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)\\ &\text{montrons que }\forall x\in[a,b],h(x)=0\\ \\ &h\text{ est continue sur }[a,b]\text{ et est dérivable sur }]a,b[\\ &\text{de plus, }\\ &h(a)=(f(b)-f(a))a-(b-a)f(a)\\ &=af(b)-\cancel{af(a)}-bf(a)+\cancel{af(a)}\\ &h(b)=(f(b)-f(a))b-(b-a)f(b)\\ &=\cancel{bf(b)}-bf(a)-\cancel{bf(b)}+af(b)\\ \\ &\text{donc d'après le théorème de Rolle,}\\ &\exists c\in[a,b],h'(c)=0\\ &\text{or }h'(x)=f(b)-f(a)-(b-a)f'(x)\\ &\implies f(b)-f(a)-(b-a)f'(c)=0 \end{align}$$
    (Théorème de Rolle)

    Corollaire : Inégalité des accroissements finis (Une variable)

    Plusieurs variables

    Théorème des accroissements finis :
    Soit \(f: U\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur un ouvert \(U\subset{\Bbb R}^2\)
    Si le segment \([a,b]\subset U\), alors il existe \(c\in]a,b[\) tel que $$f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad} f(c)\mid b-a\rangle$$

    (Classe de fonctions, Ouvert, Gradient, Produit scalaire)

    Théorème des accroissements finis :
    $${{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)}}={{h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)}}$$
    avec \(\theta\in]0,1[\)

    Preuve : se ramener au cas d'une variable

    Corollaire : Inégalité des accroissements finis (Plusieurs variables)
    Corollaire du théorème des accroissements finis :
    Soit \(f:U\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur \(U\) connexe
    Si \(\operatorname{grad} f(x,y)=(0,0)\) pour tout \((x,y)\in U\),
    Alors \(f\) est une fonction constante sur \(U\)

    (Classe de fonctions, Ensemble connexe, Gradient, Fonction constante)

    Consigne: Montrer que si \(f:U\to{\Bbb R}\) est de classe \(\mathscr C^1\), où \(U\) est un ouvert convexe de \({\Bbb R}^2\), et si \(\operatorname{grad} f(x,y)=(0,0)\) pour tout \((x,y)\in U\), alors \(f\) est constante sur \(U\)
    (corollaire du théorème des accroissements finis)

    Inégalité des accroissements finis

    Soit \(a\in U\) fixé
    \(\forall a\in U\), on a \(\lVert\operatorname{grad} f(x)\rVert_2\leqslant0\)
    On en déduit d'après le théorème des accroissements finis : $$\lvert f(x)-f(a)\rvert\leqslant0\lVert b-a\rVert_2=0$$ ainsi, \(\forall x\in U,f(x)=f(a)\) et \(f\) est constante

    (Inégalité des accroissements finis (Plusieurs variables))

    Exercices

    Consigne: Soit la série de fonctions $$f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ converge normalement sur \({\Bbb R}_+\)
    On a \(f^\prime(x)=\sum_n f^\prime_n(x)=\sum_n-\frac{n}{n^2+1}e^{-nx}\in\mathcal C^1(]0,+\infty[)\) converge normalement sur \([a,+\infty[\)
    On a \(\lim_{x\to 0}f^\prime(x)=-\infty\) et $$\forall x\gt 0, f^\prime(x)\leqslant\underbrace{-\frac12\sum^{N_x}_{n=0}\frac n{n^2+1}}_{\to-\infty\text{ car }N_x\to+\infty \text{ quand }x\to0}$$
    Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis que le taux d'accroissement de \(f\) vérifie $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\longrightarrow-\infty$$ et que, par suite, \(f\) n'est pas dérivable en \(0\)

    Appliquer le théorème des accroissements finis
    Soit \(a=0,b=x\)
    Alors d'après le théorème des accroissements finis, \(\exists c_x\in\,]0,x[\) tel que $$ f(x)-f(0)=f^\prime(c_x)x\iff\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^\prime(c_x)\leqslant-\frac12\sum^{N_{c_x}}_{n=0}\frac n{n^2+1}$$

    Taux d'accroissement diverge \(\to\) pas dérivable

    Quand \(x\to0\), \(c_x\to0\) aussi car \(0\leqslant c_x\leqslant x\)
    Donc $$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\leqslant\lim_{x\to0^+}-\frac12\sum^{N_{c_x}}_{n=0}\frac n{n^2+1}=-\infty$$


  • Rétroliens :
    • Dérivée - Dérivation
    • Formule de Taylor-Lagrange
    • Inégalité des accroissements finis
    • Théorème de Rolle